Logarithme
Qu’est-ce qu’un logarithme ?
Un logarithme est l’exposant auquel il faut élever une base pour obtenir un nombre donné. Il s’agit de l’inverse d’une opération exponentielle.
Définition et notation
Si ax=b, alors x est le logarithme de b en base a, noté loga(b). Par exemple, log10(100)=2, car 102=100.
Logarithme décimal et népérien
Le logarithme décimal utilise la base 10 (noté log) et le logarithme népérien ou naturel utilise la base e (environ 2,718), noté ln.
À quoi sert le logarithme ?
Utilité en mathématiques et en physique
Le logarithme est essentiel pour simplifier les calculs impliquant des puissances, notamment dans les équations différentielles, l’analyse de données et la résolution d’équations exponentielles.
Applications concrètes
On le retrouve dans la mesure du pH, l’échelle de Richter, les modèles de croissance, et dans les algorithmes informatiques, comme pour trier ou rechercher efficacement.
Propriétés fondamentales des logarithmes
Règles de calcul
- loga(xy)=loga(x)+loga(y)
- loga(x/y)=loga(x)−loga(y)
- loga(xn)=n ⋅ loga(x)
Ces règles permettent de transformer des produits ou puissances en additions ou multiplications.
Changement de base
On peut convertir un logarithme d’une base à une autre avec la formule :
logb(x)=loga(x) / loga(b)
Utile pour passer d’un logarithme décimal à un logarithme naturel.
Histoire et évolution
Invention par John Napier
Le logarithme a été introduit au XVIIe siècle par John Napier pour simplifier les calculs astronomiques.
Impact dans le temps
Son usage a révolutionné les mathématiques avant l’invention des calculatrices, notamment grâce aux tables de logarithmes et aux règles à calcul.
Un outil incontournable encore aujourd’hui
Importance en sciences et en data
Le logarithme reste un outil central dans les sciences exactes, l’analyse de données et la cryptographie. Il permet de modéliser des phénomènes complexes avec des croissances non linéaires.
Utilité pédagogique
Il aide à comprendre les rapports multiplicatifs et les notions de proportionnalité, fondamentales en mathématiques.